Для решения задачи сначала найдем необходимые параметры ромба, а затем определим площадь вписанного в него круга.
Шаг 1: Определение сторон ромба
Периметр ромба равен 200 см. Поскольку периметр ромба — это сумма длин всех его сторон, то длина одной стороны ромба будет:
P=4aP = 4a
где aa — длина одной стороны ромба. Тогда:
a=P4=2004=50 смa = \frac{P}{4} = \frac{200}{4} = 50 \, \text{см}
Шаг 2: Выражение для диагонал ромба
Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника. Обозначим длины диагонал через d1d_1 и d2d_2, при этом известно, что их отношение d1:d2=3:4d_1 : d_2 = 3 : 4. То есть:
d1=3kиd2=4kd_1 = 3k \quad \text{и} \quad d_2 = 4k
где kk — некоторая величина, которую нам нужно найти.
Шаг 3: Использование теоремы Пифагора для нахождения диагонал
Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором катеты — это половины диагонал. Половины диагонал равны:
d12=3k2,d22=4k2=2k\frac{d_1}{2} = \frac{3k}{2}, \quad \frac{d_2}{2} = \frac{4k}{2} = 2k
Теперь применим теорему Пифагора, так как сторона ромба, гипотенуза, образует прямой угол с половинами диагонал:
a2=(d12)2+(d22)2a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
Подставляем значения:
502=(3k2)2+(2k)250^2 = \left(\frac{3k}{2}\right)^2 + (2k)^2 2500=9k24+4k22500 = \frac{9k^2}{4} + 4k^2
Для удобства умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
10000=9k2+16k210000 = 9k^2 + 16k^2 10000=25k210000 = 25k^2
Теперь решим это уравнение для kk:
k2=1000025=400k^2 = \frac{10000}{25} = 400 k=400=20k = \sqrt{400} = 20
Шаг 4: Нахождение диагонал
Теперь, зная k=20k = 20, можем найти длины диагонал:
d1=3k=3×20=60 смd_1 = 3k = 3 \times 20 = 60 \, \text{см} d2=4k=4×20=80 смd_2 = 4k = 4 \times 20 = 80 \, \text{см}
Шаг 5: Нахождение радиуса вписанного круга
Радиус вписанного круга ромба можно найти по формуле:
r=SPr = \frac{S}{P}
где SS — площадь ромба, а PP — периметр ромба.
Площадь ромба вычисляется по формуле:
S=12×d1×d2S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2
Подставляем значения:
S=12×60×80=2400 см2S = \frac{1}{2} \times 60 \times 80 = 2400 \, \text{см}^2
Теперь можем найти радиус вписанного круга:
r=2400200=12 смr = \frac{2400}{200} = 12 \, \text{см}
Шаг 6: Площадь вписанного круга
Площадь круга вычисляется по формуле:
Sкруга=πr2S_{\text{круга}} = \pi r^2
Подставляем r=12r = 12:
Sкруга=π×122=π×144≈452,39 см2S_{\text{круга}} = \pi \times 12^2 = \pi \times 144 \approx 452,39 \, \text{см}^2
Ответ: площадь круга, вписанного в ромб, примерно равна 452,39 см².
