Доказательство тождества: (a+b)2−4ab=(a−b)2(a + b)^2 — 4ab = (a — b)^2(a+b)2−4ab=(a−b)2

Для начала разложим обе стороны тождества и проверим их равенство.

Левую часть: (a+b)2−4ab(a + b)^2 — 4ab(a+b)2−4ab

1. Раскроем скобки в (a+b)2(a + b)^2(a+b)2:

   (a+b)2=a2+2ab+b2.(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.(a+b)2=a2+2ab+b2.

   Таким образом, левая часть выражения становится:

   (a+b)2−4ab=(a2+2ab+b2)−4ab.(a + b)^2 — 4ab = (a^2 + 2ab + b^2) — 4ab.(a+b)2−4ab=(a2+2ab+b2)−4ab.

2. Упростим выражение, сократив $2ab-4ab$:

   a2+2ab+b2−4ab=a2−2ab+b2.a^2 + 2ab + b^2 — 4ab = a^2 — 2ab + b^2.a2+2ab+b2−4ab=a2−2ab+b2.

   Таким образом, левая часть выражения упрощается до:

   a2−2ab+b2.a^2 — 2ab + b^2.a2−2ab+b2.

Правую часть: (a−b)2(a — b)^2(a−b)2

Теперь раскроем скобки в правой части:

(a−b)2=a2−2ab+b2.(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.(a−b)2=a2−2ab+b2.

Сравнение обеих частей

Как мы видим, левая часть (a2−2ab+b2)(a^2 — 2ab + b^2)(a2−2ab+b2) совпадает с правой частью (a2−2ab+b2)(a^2 — 2ab + b^2)(a2−2ab+b2). Таким образом, тождество доказано:

(a+b)2−4ab=(a−b)2.(a + b)^2 — 4ab = (a — b)^2.(a+b)2−4ab=(a−b)2.