Как найти натур числа, меньшие 1000 и равные сумме факториалов своих цифр?

Для того чтобы найти натуральные числа, меньшие 1000, которые равны сумме факториалов своих цифр, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг первый: Что такое факториал?

Факториал числа $n$, обозначаемый как $n!$, — это произведение всех целых чисел от 1 до $n$. Например:

• $0!=1$,
• $1!=1$,
• $2!=2$,
• $3!=6$,
• $4!=24$,
• $5!=120$,
• $6!=720$,
• $7!=5040$,
• $8!=40320$,
• $9!=362880$.

Шаг второй: Понимание задачи

Необходимо найти такие натуральные числа $n$, меньшие 1000, которые равны сумме факториалов их цифр. Это значит, что для числа n=akak−1…a1n = a_k a_{k-1} \ldots a_1n=ak​ak−1​…a1​, где aia_iai​ — цифры числа $n$, выполняется следующее равенство:

n=ak!+ak−1!+…+a1!n = a_k! + a_{k-1}! + \ldots + a_1!n=ak​!+ak−1​!+…+a1​!

Задача сводится к поиску чисел, меньших 1000, для которых сумма факториалов их цифр равна самому числу.

Шаг третий: Проверка для чисел от 1 до 999

Для чисел, состоящих из одной цифры (от 1 до 9), можно просто сравнить их с факториалами:

• $1=1!=1$,
• $2=2!=2$,
• $3=3!=6$,
• $4=4!=24$,
• $5=5!=120$,
• $6=6!=720$,
• $7=7!=5040$,
• $8=8!=40320$,
• $9=9!=362880$.

Для чисел, состоящих из двух или трёх цифр, нужно проверять, равна ли сумма факториалов цифр числу. Пример проверки для двухзначных чисел:

• Для числа $10$, его цифры — $1$ и $0$, сумма факториалов: $1!+0!=1+1=2$, но 10≠210 \neq 210=2.
• Для числа $145$, его цифры — $1$, $4$, и $5$, сумма факториалов: $1!+4!+5!=1+24+120=145$, и это число подходит.

Шаг четвёртый: Результаты

Мы можем видеть, что среди чисел от 1 до 999 только несколько чисел удовлетворяют этому условию:

• $1=1!$,
• $2=2!$,
• $145=1!+4!+5!$,
• $40=4!+0!=24+1=25$, это число также подходит.

Итак, числа, которые равны сумме факториалов своих цифр и меньше 1000, — это: 1, 2, 145.