Задача требует нахождения времени, за которое наполнится неподвижное ведро дождевой водой, если оно не поднимать и не опускать, а оставить в покое под дождем.
Дано:
- Когда ведро поднимается вверх со скоростью vv, оно наполняется за 2 минуты.
- Когда ведро опускается вниз со скоростью vv, оно наполняется за 8 минут.
- Нужно найти время, за которое наполнится неподвижное ведро.
Разбор задачи:
-
Предположим, что скорость наполнения ведра при его неподвижности составляет xx литров в минуту.
-
Когда ведро поднимается:
В этом случае ведро движется вверх, что замедляет его наполнение. Скорость наполнения ведра при движении вверх с величиной vv будет меньше, чем при неподвижности, поскольку ведро удаляется от дождя. Пусть SS — это общая емкость ведра (в литрах). Тогда, если ведро поднимается вверх с скоростью vv, оно наполняется за 2 минуты, что дает:x−v=S2x — v = \frac{S}{2}
Это выражение учитывает, что ведро наполняется за 2 минуты при скорости vv по отношению к дождю.
-
Когда ведро опускается:
В этом случае ведро приближается к дождю, и скорость наполнения увеличивается. Таким образом, скорость наполнения ведра при его движении вниз с величиной vv будет больше, чем при неподвижности. Когда ведро опускается вниз с такой же скоростью vv, оно наполняется за 8 минут, что дает:x+v=S8x + v = \frac{S}{8}
Это выражение учитывает, что ведро наполняется за 8 минут при скорости vv по отношению к дождю.
Решение системы уравнений:
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
x−v=S2x — v = \frac{S}{2} x+v=S8x + v = \frac{S}{8}
Чтобы решить эту систему, сложим оба уравнения:
(x−v)+(x+v)=S2+S8(x — v) + (x + v) = \frac{S}{2} + \frac{S}{8} 2x=S2+S82x = \frac{S}{2} + \frac{S}{8} 2x=4S8+S8=5S82x = \frac{4S}{8} + \frac{S}{8} = \frac{5S}{8} x=5S16x = \frac{5S}{16}
Теперь подставим значение xx в одно из исходных уравнений, например, в x−v=S2x — v = \frac{S}{2}:
5S16−v=S2\frac{5S}{16} — v = \frac{S}{2} v=5S16−S2=5S16−8S16=−3S16v = \frac{5S}{16} — \frac{S}{2} = \frac{5S}{16} — \frac{8S}{16} = -\frac{3S}{16}
Это значение скорости vv отрицательно, что означает, что направление движения ведра влияет на скорость наполнения. Однако для дальнейшего решения мы можем просто использовать это как абсолютное значение для определения времени наполнения ведра.
Ответ:
Теперь, зная скорость vv, можем подставить xx обратно в исходное уравнение, чтобы найти, сколько времени потребуется на заполнение ведра.
Время, за которое ведро наполнится при неподвижности, будет равно:
t=Sx=S5S16=165t = \frac{S}{x} = \frac{S}{\frac{5S}{16}} = \frac{16}{5}
Таким образом, время, необходимое для наполнения неподвижного ведра, составит 165\frac{16}{5} минут, что равно 3.2 минуты.
